[mehrere] Denksportaufgaben

[ingo2]

Animiert durch den Post non paedubucher hier mal was zum Knobeln:

Du hast zur Verfügung:
Eine Balkenwaage und 12 Kugeln.
Von den 12 Kugeln unterscheidet sich eine nur durch ihr Gewicht von den anderen.

Du darfst 3 mal wägen, um die falsche Kugel zu finden und herauszufinden, ob sie schwerer oder leichter als die restlichen 11 ist.

Ingo

P.S.: Die Aufgabe ist lösbar:

[Radfahrer]

Wer regelmäßig Columbo geguckt hat, kennt die Lösung.

[breakthewall]

So wie Ich das sehe, ist lediglich einmal wiegen nötig um herauszufinden, wo sich die falsche Kugel befindet und ob sie nun leichter oder schwerer ist. Um die Kugel exakt zu identifizieren, müsste man allerdings viermal wiegen.

Erster Schritt:
Je sechs Kugeln auf jede Seite der Waage verteilen. Damit wird klar wo die falsche Kugel dabei ist, und ob sie nun leichter oder schwerer ist. Die Aufgabe wäre damit eigentlich gelöst, angesichts der Formulierung.

Zweiter Schritt:
Nun werden die sechs gegenüberliegenden Kugeln beiseite gelegt, und die restlichen sechs Kugeln inkl. der falschen Kugel darunter, wieder verteilt zu je drei Kugeln pro Seite.

Dritter Schritt:
Da zuvor in jedem Fall wieder eine Seite leichter oder schwerer sein musste, werden wieder die drei gegenüberliegenden Kugeln beiseite gelegt. Dann werden die restlichen drei Kugeln verteilt, und die eine Seite wird um eine Kugel erweitert damit es je zwei auf jeder Seite sind.

Vierter Schritt:
Logischerweise musste nun wieder eine Seite leichter oder schwerer sein, weshalb wieder zwei Kugeln herausfallen und die letzten zwei Kugeln gegeneinander abgewogen werden. Die Kugel die nun leichter oder schwerer ist, ist die eine falsche Kugel.

Würde aber an dieser Stelle nicht gänzlich ausschliessen, dass es nicht evtl. einen schnelleren Weg gibt den Ich übersehen habe.

[Liffi]

Dritter Schritt:
Da zuvor in jedem Fall wieder eine Seite leichter oder schwerer sein musste, werden wieder die drei gegenüberliegenden Kugeln beiseite gelegt. Dann werden die restlichen drei Kugeln verteilt, und die eine Seite wird um eine Kugel erweitert damit es je zwei auf jeder Seite sind.

Nur eine auf jede Seite. Wenn es gleich ist, ist es die dritte. Und schon bist du bei nur 3 Schritten.

[hikaru]

Erster Schritt:
Je sechs Kugeln auf jede Seite der Waage verteilen. Damit wird klar wo die falsche Kugel dabei ist, und ob sie nun leichter oder schwerer ist.

So wie Ingo die Aufgabe formuliert hat reicht das nicht.
Du weißt jetzt zwar, welche Seite schwerer ist und welche leichter, aber da du nicht weißt, ob die abweichende Kugel leichter oder schwerer ist als die anderen, kannst du noch nicht sagen, auf welcher Seite der Waage sich die Anomalie befindet.

[Lord_Carlos]

Oh ja, 3 gegen 3 wiegen und man braucht nur 3 Schritte.
Bin ich nicht drauf gekommen.

[maroc]

Wie es der Zufall will, hat mir vor wenigen Wochen jemand (im "Real Life") genau diese Aufgabe gestellt. Ich brauchte gut zwei Stunden, bis ich eine Lösung gefunden hatte, die ich hier mal vorerst nicht verraten will. Nur so viel: die Aufgabe ist lösbar. Meine Lösung erfordert allerdings recht raffinierte Fallunterscheidungen, sodass sie sich letztlich als mehrfach verzweigter Baum präsentiert.

[smutbert]

Mit der von breakthewall präsentierten Lösung habe ich jedenfalls so meine Schwierigkeiten:

Erster Schritt:
Je sechs Kugeln auf jede Seite der Waage verteilen. Damit wird klar wo die falsche Kugel dabei ist, und ob sie nun leichter oder schwerer ist.[…]

Woher wissen wir denn ob die "ungleiche" Kugel bei den leichteren 6 oder bei den schwereren 6 dabei ist und damit mit welcher Hälfte der Kugeln wir die weiteren Schritte machen müssen?

[Lord_Carlos]

Oh dran habe ich auch nicht gedacht :/

[hikaru]

Woher wissen wir denn ob die "ungleiche" Kugel bei den leichteren 6 oder bei den schwereren 6 dabei ist und damit mit welcher Hälfte der Kugeln wir die weiteren Schritte machen müssen?

Genau mein Punkt. Danke für die klarere Formulierung!

[thoerb]

Woher wissen wir denn ob die "ungleiche" Kugel bei den leichteren 6 oder bei den schwereren 6 dabei ist und damit mit welcher Hälfte der Kugeln wir die weiteren Schritte machen müssen?

Genau mein Punkt. Danke für die klarere Formulierung!

Man könnte am Anfang nur 6 Kugeln auf die Waage legen. Wenn die im Gleichgewicht sind muss sich die gesuchte Kugel unter den Anderen befinden oder umgekehrt.

[hikaru]

Man könnte am Anfang nur 6 Kugeln auf die Waage legen. Wenn die im Gleichgewicht sind muss sich die gesuchte Kugel unter den Anderen befinden oder umgekehrt.

Dann weiß ich, in welcher Sechsergruppe sich die gesuchte Kugel befindet.
Da ich aber immer noch nicht weiß, ob die gesuchte Kugel leichter oder schwerer ist als die anderen, reichen zwei weitere Versuche nicht in jedem Fall aus um die Kugel zu identifizieren.

[thoerb]

Man könnte am Anfang nur 6 Kugeln auf die Waage legen. Wenn die im Gleichgewicht sind muss sich die gesuchte Kugel unter den Anderen befinden oder umgekehrt.

Dann weiß ich, in welcher Sechsergruppe sich die gesuchte Kugel befindet.
Da ich aber immer noch nicht weiß, ob die gesuchte Kugel leichter oder schwerer ist als die anderen, reichen zwei weitere Versuche nicht in jedem Fall aus um die Kugel zu identifizieren.

Der Meinung bin ich auch. Ich bin mal gespannt auf die Lösung.

[maroc]

Oh nein, ich merke gerade, dass meine oben erwähnte (aber nicht verratene) Lösung die Aufgabenstellung nicht ganz erfüllt. Am Ende eines Zweiges meines Entscheidungsbaumes wird zwar die abweichende Kugel ermittelt, man kann aber nicht mit Sicherheit sagen, ob sie leichter oder schwerer als die übrigen ist. Die anderen "Zweige" sind dagegen okay. Dies ist für sich genommen ja irgendwie witzig, lässt sich aber vermutlich reparieren (auch wenn ich gerade nicht sehe, wie).

[hikaru]

@maroc:
Dass du die gesuchte Kugel innerhalb von drei Versuchen zweifelsfrei identifizieren kannst, aber nicht die Richtung ihrer Abweichung, macht mich neugierig. Ich hätte es eher andersrum erwartet.

[maroc]

@maroc:
Dass du die gesuchte Kugel innerhalb von drei Versuchen zweifelsfrei identifizieren kannst, aber nicht die Richtung ihrer Abweichung, macht mich neugierig. Ich hätte es eher andersrum erwartet.

Das ist nicht ganz einfach zu erklären, aber ich versuchs mal: Ich habe am Ende zwei Kugeln (nennen wir sie a und b) übrig, von denen ich nur weiß, das eine die abweichende ist. Ich weiß allerdings aus den vorhergehenden Wägungen (in denen a und b noch gar nicht verwendet wurden!) immer noch nicht, ob die Abweichlerin nun leichter oder schwerer als die Norm ist. Es bringt deshalb jetzt nichts, die beiden Kugeln a und b miteinander zu vergleichen! Vielmehr muss ich eine der inzwischen als normal erkannten Kugeln (nennen wir sie x) heranziehen und etwa mit a vergleichen. Angenommen es herrscht nun Gleichgewicht zwischen a und x, weiß ich zwar, dass b die gesuchte Kugel ist, aber eben nicht, ob sie leichter oder schwerer als die anderen ist.

[breakthewall]

So wie Ingo die Aufgabe formuliert hat reicht das nicht.
Du weißt jetzt zwar, welche Seite schwerer ist und welche leichter, aber da du nicht weißt, ob die abweichende Kugel leichter oder schwerer ist als die anderen, kannst du noch nicht sagen, auf welcher Seite der Waage sich die Anomalie befindet.

Natürlich weiß man das, wobei deine Ausführung sehr widersprüchlich ist. Es sind insgesamt 12 Kugeln, wovon 11 Kugeln identisch sind und nur 1 Kugel abweicht. Wenn nun beide Seiten je 6 Kugeln aufweisen, und eine der Seiten bspw. schwerer ist, dann weißt sehr sicher ob die unbekannte Kugel nun leichter oder schwerer ist. Denn von nichts kommt auch nichts, ergo muss eine Kugel auf der schwereren Seite auch schwerer sein. Eigentlich gibt es daran keinen Zweifel mehr. Gleiches gilt auch wenn eine Seite leichter sein sollte.

Woher wissen wir denn ob die "ungleiche" Kugel bei den leichteren 6 oder bei den schwereren 6 dabei ist und damit mit welcher Hälfte der Kugeln wir die weiteren Schritte machen müssen?

Eigentlich ist das doch völlig einleuchtend.

Basis: 12 Kugeln, 11 identisch, 1 entweder leichter oder schwerer

Packst nun wahllos je 6 Kugeln auf jede Seite der Waage, dann ist diese 1 Kugel effektiv auf einer der Seiten dabei. Ist nun bspw. die rechte Seite schwerer als die andere, trotz gleicher Kugelanzahl, dann wird das wodurch verursacht? Durch die eine in diesem Fall schwerere Kugel, wenn die anderen 11 Kugeln identisch sind. Ergo ist genau jene Kugel nicht auf der linken Seite existent, womit diese Kugeln schon mal ausscheiden, und nur noch die Kugeln der rechten Seite aufgeteilt werden. Und dieses Prozedere wird so oft wiederholt, bis letztlich nur noch 2 Kugeln übrig sind, wovon die die dann schwerer ist zweifellos die gesuchte Kugel ist. Benötigt zwar einen Schritt mehr, aber man gelangt sicher zum Ergebnis, auch wenn die Originallösung pfiffiger ist.

[Lord_Carlos]

Packst nun wahllos je 6 Kugeln auf jede Seite der Waage, dann ist diese 1 Kugel effektiv auf einer der Seiten dabei. Ist nun bspw. die rechte Seite schwerer als die andere, trotz gleicher Kugelanzahl, dann wird das wodurch verursacht? Durch die eine in diesem Fall schwerere Kugel, wenn die anderen 11 Kugeln identisch sind.

Oder die linke Seite hat eine leichtere Kugel und die anderen 11 Kugeln sind identisch

[hikaru]

Wenn nun beide Seiten je 6 Kugeln aufweisen, und eine der Seiten bspw. schwerer ist, dann weißt sehr sicher ob die unbekannte Kugel nun leichter oder schwerer ist.

Dir fehlt der Bezugsrahmen um zu entscheiden, ob die leichte oder die schwere Seite abnormal ist.

[ingo2]

Ratet mal schön weiter.

Heute Abend gebe ich einen Tipp und verrate die 1. Wägung - dann bleibt immer noch genug für die kleinen grauen Zellen übrig.
Mich hat vor vielen Jahren die Aufgabe eine ganze schlaflose Nacht gekostet

Einverstanden?
Ingo

[maroc]

Man könnte am Anfang nur 6 Kugeln auf die Waage legen. Wenn die im Gleichgewicht sind muss sich die gesuchte Kugel unter den Anderen befinden oder umgekehrt.

Meiner Meinung nach hat thoerb damit schon den richtigen Einstieg gewählt, falls ich ihn richtig verstehe, dass er von den sechs Kugeln drei auf die linke und drei auf die rechte Seite der Waage legen will.

[breakthewall]

Oder die linke Seite hat eine leichtere Kugel und die anderen 11 Kugeln sind identisch

Stimmt.

Eben hatte Ich nochmal überlegt nach meinem Betrag. Was ist wenn sie nun leichter ist? ^^

Ist wohl nicht mein Tag. Hatte das völlig aus den Augen verloren.

[thoerb]

1. Schritt:
6 Kugeln auf die Wage um wie oben schon erwähnt eine Sechsergruppe zu bilden in der sich die gesuchte Kugel befinden muss.

2. Schritt:
Von den 6 Kugeln, 3 auf eine Seite der Waage legen und diese gegen 3 der ausgeschlossenen Sechsergruppe (von der man ja weiß, dass alle Kugeln gleich sind) wiegen.
So kann man wieder 3 Kugeln ausschließen. 3 Kugeln bleiben jetzt übrig.

3. Schritt:
2 von den 3 Kugeln auf die Waage, sind diese gleich, so hat man die gesuchte Kugel ausgeschlossen.

Wenn nicht ist noch ein 4. Schritt notwendig.

Ich hoffe, ich habe keinen Denkfehler gemacht.

[hikaru]

3. Schritt:
2 von den 3 Kugeln auf die Waage, sind diese gleich, so hat man die gesuchte Kugel ausgeschlossen.

Wenn in Schritt 2 die Waage im Gleichgewicht war, dann weißt du aber immer noch nicht, ob die gesuchte Kugel schwerer oder leichter ist.

Wenn nicht ist noch ein 4. Schritt notwendig.

Also reichen 3 Schritte nicht.
Wenn man nicht verlangt, dass die Maximalanzahl der Schritte in jedem Fall eingehalten werden muss, dann KANN man es auch in zwei Schritten schaffen, die abweichende Kugel inklusive Richtung zu identifizieren.

[maroc]

thoerb, ich finde Deinen Lösungsweg in sich schlüssig, aber da im ungünstigsten Fall 4 Schritte vonnöten sind, ist die Aufgabe eben nicht ganz erfüllt. Vielleicht lässt sich das irgendwie noch hinbiegen? Mein Lösungsweg verwendet bei der ersten Wägung übrigens 8 Kugeln (vier gegen vier). Aber da ich meine Lösung inzwischen, wie gesagt, in einem Detail auch als falsch erkannt habe, weiß ich nicht, ob mein Ansatz wirklich der richtige ist.