[gelöst] Logik-Aufgabe

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paedubucher
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[gelöst] Logik-Aufgabe

Beitrag von paedubucher » 23.03.2017 15:35:33

Ich beisse mir gerade an einer Logik-Aufgabe die Zähne aus. Es geht darum, aus vier Prämissen verschiedene Konklusionen zu finden. Rein logisch ist das anhand der Prämissen kein Problem, nur habe ich etwas Mühe damit, die einzelnen Schritte formell korrekt durchzuführen und zu begründen.

Die Prämissen:
  1. Wenn ich einen Tag frei mache, dann regnet oder schneit es.
  2. Ich machte Dienstag oder Donnerstag frei.
  3. Am Dienstag war es sonnig.
  4. Es schneite nicht am Donnerstag.
Daraus leite ich nun folgende Variablen ab:

Code: Alles auswählen

p: ich mache einen Tag frei
q: es regnete
r: es schneite
s: es war Dienstag
t: es war Donnerstag
Und kann folgende Regeln aufstellen:

Code: Alles auswählen

p → (q ∨ r) [Ich machte frei, also muss es Dienstag oder Donnerstag gewesen sein.]
p ∧ (s ∨ t) [Wenn ich frei mache, ist es Dienstag oder Donnerstag.]
s ∧ ¬(q ∨ r) [Am Dienstag war es sonnig, weder regnete noch schneite es.]
t ∧ ¬r [Am Donnerstag schneite es nicht.]
Für Dienstag kann also p → (q ∨ r) nicht stimmen, da für Dienstag ¬(q ∨ r) gilt. Und bei der Implikation kann die Konklusion nur falsch sein, wenn die Prämisse falsch ist. Die Frage ist nun, wie ich diesen Sachverhalt in der Korrekten Notation ausdrücken soll. Hier ein Versuch:

Code: Alles auswählen

[p → (q ∨ r)] ∧ [s ∧ ¬(q ∨ r)]
Ich würde spontan daraus ¬p schliessen. Nun frage ich mich aber, über welche Umwandlungsschritte ich dazu komme.
Zuletzt geändert von paedubucher am 23.03.2017 22:04:48, insgesamt 1-mal geändert.
Habe nun, ach! Java
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maroc

Re: Logik-Aufgabe

Beitrag von maroc » 23.03.2017 17:05:43

Die dritte und vierte Prämisse würde ich anders als Du jeweils als Implikation und nicht als Konjunktion verstehen, also:

Code: Alles auswählen

Prämissen:

(1) p → (q ∨ r)
(2) p ∧ (s ∨ t)
(3) s → ¬(q ∨ r)
(4) t → ¬r
Daraus leite ich die folgenden Schlüsse ab:

Code: Alles auswählen

Konklusionen:

(2) p ∧ (s ∨ t) => (2a) p "Ich habe freigemacht"
(1) p → (q ∨ r)
_____________________________

(5) q ∨ r
(3) s → ¬(q ∨ r) => (6) (q ∨ r) → ¬s
_____________________________

(7) ¬s "Es war nicht Dienstag"
(2) p ∧ (s ∨ t) => (8) s ∨ t
_____________________________

(9) t "Es war Donnerstag"
(4) t → ¬r
______________________________

(10) ¬r "Es hat nicht geschneit"
(1) p → (q ∨ r)
_____________________________

q "Es hat geregnet"
Falls ich keinem Fehlschluß unterlag, lässt sich als Ergebnis also festhalten: "Ich habe am Donnerstag freigemacht und es hat geregnet."

maroc

Re: Logik-Aufgabe

Beitrag von maroc » 23.03.2017 17:22:34

Vielleicht besser noch mal das Ganze im Klartext :wink: :

Auf jeden Fall habe ich am Dienstag oder Donnerstag freigemacht (Prämisse 2). Dienstag kann es aber nicht gewesen sein, weil da nämlich die Sonne schien (Prämisse 3) – entgegen der Regel (Prämisse 1), dass es an meinen freien Tagen ja grundsätzlich regnet oder schneit. Also hatte ich am Donnerstag frei. Und weil es am Donnerstag nicht schneite (Prämisse 4), muss es also geregnet haben (wiederum wegen Prämisse 1).

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paedubucher
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Re: Logik-Aufgabe

Beitrag von paedubucher » 23.03.2017 18:40:03

Vielen Dank für deine Ausführungen, maroc. Ich werde mir das auf nicht-leeren Magen noch einmal genauer durch den Kopf gehen lassen.

Zu deiner Signatur: Wenn du dir einmal von C.G. Jung den Essay "Psychologische Typen" oder bzw. seinen Vortrag davon aus dem Jahre 1923 durchliest, wirst du dort die theoretische Begründung für dieses Zitat finden. :wink:

Nachtrag: Ich habe es jetzt Schritt für Schritt nachvollziehen können. Vielen Dank noch einmal, das hast du wirklich sauber gelöst :)
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Re: [gelöst] Logik-Aufgabe

Beitrag von eggy » 23.03.2017 22:34:36

paedubucher hat geschrieben:Ich würde spontan daraus ¬p schliessen. Nun frage ich mich aber, über welche Umwandlungsschritte ich dazu komme.
Kann es sein, dass Du etwas suchst, dass sich "Elimination der Implikation" ( φ → ψ ≡ ¬φ ∨ ψ ) nennt?

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Re: Logik-Aufgabe

Beitrag von ingo2 » 23.03.2017 22:35:40

maroc hat geschrieben:Vielleicht besser noch mal das Ganze im Klartext :wink: :

Auf jeden Fall habe ich am Dienstag oder Donnerstag freigemacht (Prämisse 2). Dienstag kann es aber nicht gewesen sein, weil da nämlich die Sonne schien (Prämisse 3) – entgegen der Regel (Prämisse 1), dass es an meinen freien Tagen ja grundsätzlich regnet oder schneit. Also hatte ich am Donnerstag frei. Und weil es am Donnerstag nicht schneite (Prämisse 4), muss es also geregnet haben (wiederum wegen Prämisse 1).
So weit bin ich auch gleich nach dem ersten Durchlesen gekommen - also ok.

Aber wenn man das jetzt mal ganz wörtlich nimmt, heißt ja "am Dienstag war es sonnig" nicht zwangsläufig, daß es nicht geregnet oder gar geschneit hat. Die Formulierung ist also nicht ein-eindeuteig ;-)

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Re: Logik-Aufgabe

Beitrag von hikaru » 24.03.2017 08:21:56

ingo2 hat geschrieben:Aber wenn man das jetzt mal ganz wörtlich nimmt, heißt ja "am Dienstag war es sonnig" nicht zwangsläufig, daß es nicht geregnet oder gar geschneit hat. Die Formulierung ist also nicht ein-eindeuteig ;-)
Die Aufgabe setzt wohl voraus, dass ein Tag nur ein "Wetter" hat, was natürlich praxisfern ist.
Aber nachdem ja die erste Prämisse schon suggeriert, dass sich das Wetter nach deinem Urlaubsplan richtet (statt andersrum), würde ich mir über solche Kleinigkeiten keine Sorgen mehr machen. ;)

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Re: [gelöst] Logik-Aufgabe

Beitrag von uname » 24.03.2017 08:52:08

hikaru hat geschrieben:Aber nachdem ja die erste Prämisse schon suggeriert, dass sich das Wetter nach deinem Urlaubsplan richtet (statt andersrum), würde ich mir über solche Kleinigkeiten keine Sorgen mehr machen
Wenn man alle Regeln als Implikation aufstellt wird es deutlich:

Code: Alles auswählen

(1) p → (q ∨ r)
(2) p → (s ∨ t)
(3) s → ¬(q ∨ r)
(4) t → ¬r
Da p (frei) nur links auftaucht kann man keine Aussage über ¬p (nicht frei) treffen, da sich eine Implikation nicht umkehren lässt.
Man weiß nur dass es am Donnerstag regenet (t → q) und am Dienstag sonnig ist (s → ¬(q ∨ r)) ).
Eine Aussage über die anderen Tage gibt es nicht. Daher sollte man den freien Tag von Donnerstag direkt auf den sonnigen Dienstag verschieben ;-)
Wobei mit etwas Glück sind die übrigen Tage der Woche besser als der Donnerstag. Wobei es könnte im Gegensatz zum Donnerstag sogar Schnee geben. Man sollte also vielleicht doch zufrieden sein.

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Re: [gelöst] Logik-Aufgabe

Beitrag von hikaru » 24.03.2017 09:13:54

uname hat geschrieben:Wenn man alle Regeln als Implikation aufstellt wird es deutlich:
Fragt sich, ob das zulässig ist. Meine Kenntnisse in formaler Aussagenlogik sind zu eingerostet, um hier noch wirklich hilfreich zu sein.
Beinhaltet eine Subjunktion (um die es hier wohl geht) denn Kausalität? Falls ja, dann würde die erste Prämisse bedeuten, dass das Wetter kausal von paedubuchers Urlaubsplan abhängt. Das ist rein formal formulierbar (genau wie die Abnnahme, dass es nur ein "Wetter" pro Tag gibt), in der Realität aber natürlich Quatsch. Daher stellt sich mir die Frage, ob es überhaupt zulässig ist, formale Aussagen über einen Sachverhalt zu machen, der mit einer fehlerhaften Prämisse beginnt.

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Re: [gelöst] Logik-Aufgabe

Beitrag von uname » 24.03.2017 10:21:49

Das ist das Schöne an der Subjunktion bzw. materialen Implikation. Aus einer falschen Aussage darf man alles folgern und die Gesamtaussage ist trotzdem wahr ;-)

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