Wahrscheinlichkeitsrechnung: Elegantere Lösung

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paedubucher
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Wahrscheinlichkeitsrechnung: Elegantere Lösung

Beitrag von paedubucher » 05.04.2017 15:00:24

Ich arbeite gerade an einer Aufgabe zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ich konnte sie richtig lösen, jedoch überfordert mein Lösungweg meinen Taschenrechner, sodass ich Wolfram Alpha bemühen musste. Doch der Reihe nach:
Eine Kiste enthält je 30 rote, weisse und blaue Kugeln. Wie gross ist die Chance, dass von einer Farbe keine Kugel gezogen wird, wenn 10 Kugeln gezogen werden (ohne zurücklegen)?
Und hier ist mein Ansatz:

Code: Alles auswählen

P("eine Farbe kommt nicht vor") = 1 - P("alle Farben kommen vor")
P("alle Farben kommen vor") = P("rot kommt vor") * P("weiss kommt vor") * P("blau kommt vor")
Da es ja von jeder Kugel 30 Exemplare gibt, sind die drei letzgenannten Wahrscheinlichkeiten ja alle gleich gross, darum:

Code: Alles auswählen

P("alle Farben kommen vor") = P("Farbe X kommt vor")^3
P("eine Farbe kommt nicht vor") = 1 - P("Farbe X kommt vor")^3

P("Farbe X kommt vor") = 1 - P("Farbe X kommt NICHT vor")
Ich brauche also nur noch zu berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine beliebige Farbe nicht vorkommt. Beim ersten Ziehen sind das 60 aus 90, beim zweiten Ziehen 59 aus 89 usw., und beim zehnten Ziehen noch 51 aus 81. Das könnte man folgendermassen hinschreiben:

Code: Alles auswählen

60/90 * 59/89 * ... * 51/81
Damit ich nicht zehn Brüche ausrechnen und miteinander multiplizieren muss, habe ich das als Fakultät hingeschrieben:

Code: Alles auswählen

60! : 50!
---------
90! : 80!
Da mein Taschenrechner 90! nicht rechnen kann, frage ich mich (bzw. euch), wie sich das mathematisch eleganter bewerkstelligen liesse. :?
Habe nun, ach! Java
Python und C-Sharp,
Und leider auch Visual Basic!
Durchaus programmiert mit heissem Bemühn.
Da steh' ich nun, ich armer Tor!
Und bin so klug als wie zuvor.

Liffi
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Re: Wahrscheinlichkeitsrechnung: Elegantere Lösung

Beitrag von Liffi » 05.04.2017 15:23:22

Vielleicht hilft die mal ein Blick auf's Urnenmodell[1]. Dann sollte 10! ausreichen :-).

[1]https://de.wikipedia.org/wiki/Urnenmode ... rteilungen

EDIT:: Habe mal ausprobiert. Glaube, man kommt dann sogar ohne Fakultät aus. Biete mal ~ 0.017341616623677288 als Lösung an... oder bin ich da auf dem Holzweg?

EDIT2:: Meine Lösung ist um den Faktor 3 zu klein, habe es nur für genau eine Farbe berechnet, nicht für alle drei.

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paedubucher
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Re: Wahrscheinlichkeitsrechnung: Elegantere Lösung

Beitrag von paedubucher » 05.04.2017 15:57:48

Liffi hat geschrieben:Vielleicht hilft die mal ein Blick auf's Urnenmodell[1]. Dann sollte 10! ausreichen :-).

[1]https://de.wikipedia.org/wiki/Urnenmode ... rteilungen

EDIT:: Habe mal ausprobiert. Glaube, man kommt dann sogar ohne Fakultät aus. Biete mal ~ 0.017341616623677288 als Lösung an... oder bin ich da auf dem Holzweg?

EDIT2:: Meine Lösung ist um den Faktor 3 zu klein, habe es nur für genau eine Farbe berechnet, nicht für alle drei.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Farbe X nicht vorkommt, beträgt ca 0.0132. Die Lösung wäre also:

Code: Alles auswählen

P("eine Farbe kommt nicht vor") = 1 - P("Farbe X kommt vor")^3
P("Farbe X kommt vor") = 1 - P("Farbe X kommt nicht vor") = 1 - 0.0132 = 0.9868
P("eine Farbe kommt nicht vor") = 1 - 0.9868^3 = 0.0391 = ca. 3.9%
Habe nun, ach! Java
Python und C-Sharp,
Und leider auch Visual Basic!
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Re: Wahrscheinlichkeitsrechnung: Elegantere Lösung

Beitrag von dufty2 » 05.04.2017 17:35:31

paedubucher hat geschrieben: Da mein Taschenrechner 90! nicht rechnen kann, frage ich mich (bzw. euch), wie sich das mathematisch eleganter bewerkstelligen liesse. :?
Wat denn? Wat denn? Wolfram Alpha aufrufen für 90! Dein Ernst?
Selbst xcalc kann 90! Und der Android "Rechner".
Da muss ich doch nichts ins Internet ;)
Notfalls ((60+51)/(90+81))^10

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paedubucher
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Re: Wahrscheinlichkeitsrechnung: Elegantere Lösung

Beitrag von paedubucher » 05.04.2017 17:46:30

dufty2 hat geschrieben:
paedubucher hat geschrieben: Da mein Taschenrechner 90! nicht rechnen kann, frage ich mich (bzw. euch), wie sich das mathematisch eleganter bewerkstelligen liesse. :?
Wat denn? Wat denn? Wolfram Alpha aufrufen für 90! Dein Ernst?
Selbst xcalc kann 90! Und der Android "Rechner".
Da muss ich doch nichts ins Internet ;)
Notfalls ((60+51)/(90+81))^10
Mit "Rechner" meinte ich meinen Taschenrechner. Wolfram Alpha hatte ich bereits offen, xcalc nicht mal installiert :wink:

Der Tipp mit dem Durchschnittsglied ist aber super, vielen Dank!
Habe nun, ach! Java
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Liffi
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Re: Wahrscheinlichkeitsrechnung: Elegantere Lösung

Beitrag von Liffi » 05.04.2017 21:31:57

paedubucher hat geschrieben: Die Wahrscheinlichkeit, dass Farbe X nicht vorkommt, beträgt ca 0.0132. Die Lösung wäre also:

Code: Alles auswählen

P("eine Farbe kommt nicht vor") = 1 - P("Farbe X kommt vor")^3
P("Farbe X kommt vor") = 1 - P("Farbe X kommt nicht vor") = 1 - 0.0132 = 0.9868
P("eine Farbe kommt nicht vor") = 1 - 0.9868^3 = 0.0391 = ca. 3.9%
Hmm... bei zehnfachem Ziehen würde ich eher ^10 irgendwo erwarten...
EDIT: Habe aber mal ein Python Programm geschrieben, das dir Recht gibt :-)

Code: Alles auswählen

import random

count_not_in_sample = 0
number_of_runs = 100000

for i in range(number_of_runs):
    kugeln = []
    for j in range(90):
        kugeln.append(j%3)
    sample = random.sample(kugeln, 10)
    if not 0 in sample:
        count_not_in_sample += 1
    if not 1 in sample:
        count_not_in_sample += 1
    if not 2 in sample:
        count_not_in_sample += 1

print count_not_in_sample
print float(count_not_in_sample)/number_of_runs
$ python kugeln.py
3943
0.03943

breakthewall
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Re: Wahrscheinlichkeitsrechnung: Elegantere Lösung

Beitrag von breakthewall » 07.04.2017 21:20:09

paedubucher hat geschrieben:Eine Kiste enthält je 30 rote, weisse und blaue Kugeln. Wie gross ist die Chance, dass von einer Farbe keine Kugel gezogen wird, wenn 10 Kugeln gezogen werden (ohne zurücklegen)?
Worin liegt der tiefere Sinn dieser Frage? Mal von dem Fakt abgesehen, dass so eine Aufgabe nicht lösbar bzw. sinnvoll errechenbar ist, auch immer auf purem Zufall basiert je nachdem wer die Kugeln aus der Kiste zieht, und vor allem wie oft. Man kann das einfach nicht wissen, noch auch nur irgendwie sinnvoll berechnen was nun wahrscheinlich ist. Denn durch jeden neuen Menschen bzw. Durchgang ändern sich wieder die Bedingungen, die wiederum die Wahrscheinlichkeit wieder völlig verändern, welche Farbe nun nicht gezogen wird. Nimmt man nun einen weiteren möglichen Faktor an, nämlich das derjenige der die Kugeln zieht, sie auch in der Kiste sehen kann, so kommt noch der persönliche Geschmack hinzu was Farben betrifft. Nun wird das Jonglieren mit Zahlen noch lustiger. Kennt man nun die betreffende Person, dann wird die Wahrscheinlichkeit der Wahl wieder realistisch, und kann zumindest geschätzt werden. Ziehen mehrere unabhängige Personen je eine Kugel heraus, oder sind diese Bedingungen gänzlich unbekannt in diesem Beispiel, wird das wieder absurd wie am Anfang. Zwar lässt sich berechnen wie viele Kugeln je nach herausziehen noch übrig bleiben, doch auch das gibt einem keine treffenden Wahrscheinlichkeiten was nun wirklich als nächstes passieren wird, so sicher man sich seiner Sache auch sein mag. Das ist nicht vorhersehbar.

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Re: Wahrscheinlichkeitsrechnung: Elegantere Lösung

Beitrag von Tintom » 07.04.2017 21:37:06

breakthewall hat geschrieben:
paedubucher hat geschrieben:Eine Kiste enthält je 30 rote, weisse und blaue Kugeln. Wie gross ist die Chance, dass von einer Farbe keine Kugel gezogen wird, wenn 10 Kugeln gezogen werden (ohne zurücklegen)?
Worin liegt der tiefere Sinn dieser Frage? Mal von dem Fakt abgesehen, dass so eine Aufgabe nicht lösbar bzw. sinnvoll errechenbar ist, auch immer auf purem Zufall basiert je nachdem wer die Kugeln aus der Kiste zieht, und vor allem wie oft. Man kann das einfach nicht wissen, noch auch nur irgendwie sinnvoll berechnen was nun wahrscheinlich ist. Denn durch jeden neuen Menschen bzw. Durchgang ändern sich wieder die Bedingungen, die wiederum die Wahrscheinlichkeit wieder völlig verändern, welche Farbe nun nicht gezogen wird. Nimmt man nun einen weiteren möglichen Faktor an, nämlich das derjenige der die Kugeln zieht, sie auch in der Kiste sehen kann, so kommt noch der persönliche Geschmack hinzu was Farben betrifft. Nun wird das Jonglieren mit Zahlen noch lustiger. Kennt man nun die betreffende Person, dann wird die Wahrscheinlichkeit der Wahl wieder realistisch, und kann zumindest geschätzt werden. Ziehen mehrere unabhängige Personen je eine Kugel heraus, oder sind diese Bedingungen gänzlich unbekannt in diesem Beispiel, wird das wieder absurd wie am Anfang. Zwar lässt sich berechnen wie viele Kugeln je nach herausziehen noch übrig bleiben, doch auch das gibt einem keine treffenden Wahrscheinlichkeiten was nun wirklich als nächstes passieren wird, so sicher man sich seiner Sache auch sein mag. Das ist nicht vorhersehbar.
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Re: Wahrscheinlichkeitsrechnung: Elegantere Lösung

Beitrag von ChronoBoost » 07.04.2017 23:45:17

Ist das noch Smalltalk?! :D

Die Aufgabe lässt sich auch mit der "Multivariaten Hypergeometrischen Verteilung" lösen. Die Lösung findet man in den hypergeometrisch verteilten Randverteilungen. Diese Erkenntnis öffnet dann die Tür zur einfachen (ohne die oben ausgeführte "manuelle" Betrachtung) Beantwortung noch speziellerer Aufgaben. Die o.g. Bruchfakultäten lassen sich dann als entartete Binomialkoeffizienten mit k=0 auffassen, die sich im übrigen auch generell oft durch ausgiebiges Kürzen erheblich vereinfachen lassen. Sehr große Fakultäten lassen sich auch durch die Stirlingformel annähern, oder man prüft gleich, ob die Verteilung für die gegebenen Parameter nicht gegen eine andere (stetige) Verteilung konvergiert. Dann wird überhaupt kein Computer gebraucht 8O und es reicht auch eine Tabelle der Verteilung.
breakthewall hat geschrieben: Mal von dem Fakt abgesehen, dass so eine Aufgabe nicht lösbar bzw. sinnvoll errechenbar ist, auch immer auf purem Zufall basiert je nachdem wer die Kugeln aus der Kiste zieht, und vor allem wie oft.
Die Voraussetzung der Aufgabe ist ja gerade eine zufällige Auswahl ("Wahrscheinlichkeitsaufgabe" / Urnenmodell). Insofern erübrigt sich auch das weitere philosophieren über die konkreten Umstände der Ziehung. Obwohl, das würde dann eher in die Rubrik Smalltalk passen. :)

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