[mehrere] Denksportaufgaben

[smutbert]

In der Fragestellung kommt auch vor, ob die abweichende Kugel nun leichter oder schwerer als die anderen ist und das kannst du nicht mehr eruieren, wenn sich die dritte Kugel als die ungleiche herausstellt.

und selbst wenn das nicht in der Fragestellung wäre: Woher weißt du bei zwei Kugeln, die sich beim Wägen als ungleich schwer herausstellen, ob die eine schwerer oder die andere leichter ist?

[maroc]

Also bevor im Internet recherchierte Lösungen gepostet werden, präsentiere ich doch mal meine (unvollkommene) Lösung. Der rot hervorgehobene Zweig ist der reparaturbedürftige – wobei die Reparatur vermutlich schon bei der zweiten Wägung ansetzen muss, vielleicht hat ja jemand eine Idee. Leider ist es mir nicht so richtig gelungen, den Entscheidungsbaum schön übersichtlich aufzubereiten.

EDIT: Ich habe bei den Wägungen an die Nummern der Kugeln, die bereits als der Gewichtsnorm entsprechend erkannt wurden, ein "n" angehängt, was hoffentlich den Gedankengang etwas nachvollziehbarer macht.
Die Kugeln seien mit den Zahlen 1, 2, 3, … , 12 bezeichnet. ERSTE WÄGUNG: 1, 2, 3, 4, ⊥ 5, 6, 7, 8 (1) GLEICHGEWICHT bei erster Wägung => abweichende Kugel muss eine der Kugeln 9, 10, 11 oder 12 sein. ZWEITE WÄGUNG: 1n, 2n ⊥ 9, 10 (1.1) Gleichgewicht bei zweiter Wägung => abweichende Kugel = 11 oder 12. DRITTE WÄGUNG: 1n ⊥ 11 (1.1.1) Gleichgewicht => 12 = gesuchte Kugel! (witzig: Dies ist der einzige Fall, in dem die gesuchte Kugel gefunden wurde, ohne dass man weiß, ob sie leichter oder schwerer als die anderen ist ...) (1.1.2) Ungleichgewicht => 11 = gesuchte Kugel (nach Ausgang der Wägung III als leichter oder schwerer ermittelt)! (1.2) Ungleichgewicht bei zweiter Wägung => abweichende Kugel = 9 oder 10. DRITTE WÄGUNG: 1n ⊥ 9 (1.2.1)) Gleichgewicht => 10 = gesuchte Kugel (nach Ausgang der Wägung II als leichter oder schwerer ermittelt)! (1.2.2) Ungleichgewicht => 9 = gesuchte Kugel (nach Ausgang der Wägung II als leichter oder schwerer ermittelt)! (2) UNGLEICHGEWICHT bei erster Wägung: Seien in I. Wägung 1, 2, 3, 4 leichter als 5, 6, 7, 8 (umgekehrter Fall analog). ZWEITE WÄGUNG: 1, 2, 5 ⊥ 3, 4, 6 (2.1) Gleichgewicht bei zweiter Wägung => Die abweichende (= schwerere Kugel) muss entweder 7 oder 8 sein. DRITTE WÄGUNG: 7 ⊥ 8 => Die schwerere Kugel (7 oder 8 ) ist die gesuchte Kugel! (2.2) Falls bei zweiter Wägung 1, 2, 5 leichter als 3, 4, 6 => Entweder ist 1 oder 2 leichter – oder aber 6 schwerer als die Norm (denn 3n oder 5n können für das Ungleichgewicht nicht ausschlaggebend sein, da in erster Wägung jeweils auf der anderen Seite). DRITTE WÄGUNG: 1 ⊥ 2 (2.2.1) Gleichgewicht bei dritter Wägung => 6 = gesuchte (schwerere) – Kugel! (2.2.2) Ungleichgewicht bei dritter Wägung => Die leichtere Kugel (1 oder 2) ist die gesuchte Kugel! (2.3) Falls bei zweiter Wägung 1n, 2n, 5 schwerer als 3, 4, 6n => Entweder ist 3 oder 4 leichter – oder aber 5 schwerer als die Norm (da Ungleichgewicht in Wägung II entgegengesetzt zu Wägung I, muss einer der „Seitenwechsler“ ausschlaggebend sein). DRITTE WÄGUNG: 3 ⊥ 4 (2.3.1) Gleichgewicht bei dritter Wägung => 5 = gesuchte (schwerere) Kugel! (2.3.2) Ungleichgewicht => Die leichtere Kugel (3 oder 4) ist die gesuchte Kugel!

[ingo2]

@ingo2

Sind die Kugeln nummeriert bzw. darf ich sie nummerieren?

Das darfst du natürlich. Macht die Sache einfacher, wenn du es mit Text beschreiben willst.

Aber nur, wenn sich dadurch das gewicht der Kugel nicht ändert

[ingo2]

Also bevor im Internet recherchierte Lösungen gepostet werden, präsentiere ich doch mal meine (unvollkommene) Lösung. Der rot hervorgehobene Zweig ist der reparaturbedürftige – wobei die Reparatur vermutlich schon bei der zweiten Wägung ansetzen muss, vielleicht hat ja jemand eine Idee. Leider ist es mir nicht so richtig gelungen, den Entscheidungsbaum schön übersichtlich aufzubereiten.

EDIT: Ich habe bei den Wägungen an die Nummern der Kugeln, die bereits als der Gewichtsnorm entsprechend erkannt wurden, ein "n" angehängt, was hoffentlich den Gedankengang etwas nachvollziehbarer macht.
Die Kugeln seien mit den Zahlen 1, 2, 3, … , 12 bezeichnet. ERSTE WÄGUNG: 1, 2, 3, 4, ⊥ 5, 6, 7, 8

So weit ist es richtig - die erste Wägung ist mit je 4 Kugeln auf jeder Waagschale.

[mclien]

Wie maroc,

aber für den Fall 1, Gleichgewicht bei 1. Wägung anders weiter machen:

2. Wägung mit 9,10,11 gegen beliebige 3 andere Kugeln
2.1. gleichgewicht -> 12 ist die gesuchte Kugel, 3. Wägung für schwerer/leichter

2.2. ungleichgewicht: Kugel ist in Haufen 9,10,11 und es ist bekannt, ob schwerer/leichter

3. Wägung 9 und 10
3.1 Gleichgewicht und 11 ist die Kugel aus 2.2 ist bekannt ob schwerer oder leichter
3.2. ungleichgewicht kombibiert mit 2.2
fertig

2. teil war ja schon von maroc gelöst

[maroc]

@mclien
Yeah, danke, Du hast den letzten Dreh gefunden, der mir trotz intensiven Nachdenkens partout nicht einfallen wollte!

Damit sollte die Aufgabe gelöst sein, falls ich jetzt keinen Fehler übersehen habe. Das Verstehen solcher Lösungen ist ja, finde ich, fast so schwierig wie selbst die Lösung zu finden. Da wird einem extremste Konzentration abverlangt.

[ingo2]

Wie maroc,

aber für den Fall 1, Gleichgewicht bei 1. Wägung anders weiter machen:

2. Wägung mit 9,10,11 gegen beliebige 3 andere Kugeln {EDIT: "3 erwiesenermaßen echte, also aus 1-8}
2.1. gleichgewicht -> 12 ist die gesuchte Kugel, 3. Wägung für schwerer/leichter

2.2. ungleichgewicht: Kugel ist in Haufen 9,10,11 und es ist bekannt, ob schwerer/leichter

3. Wägung 9 und 10
3.1 Gleichgewicht und 11 ist die Kugel aus 2.2 ist bekannt ob schwerer oder leichter
3.2. ungleichgewicht kombibiert mit 2.2
fertig

2. teil war ja schon von maroc gelöst

Ok!

[Revod]

Da war jemand schneller, echt...

Neigung Feststellung der Waage:

1a. wiegen,
- Links / Rechts je 4 Kugeln, dann muss sich die Waage in einer Richtung neigen, egal in welche Richtung ( Oder auch nicht, siehe 2b ).
- Nun nehmen wir 4 Kugeln von einer Waagschale weg egal von welche und legen diese nicht zu den nicht gewogene Kugeln und lassen 4 Kugeln auf die eine Schale uberührt stehen.
- Die 4 nicht gewogene Kugeln legen wir auf die leere Schale

2a. wiegen
- Neigt sich die Waage in der selbe Richtung ( Sie muss sich in der selbe Richtung neigen ) wissen wir nun wo sich die " faule " Kugel befindet( Um es einfach zu halten sagen wir Mal die Schale, die unberührt blieb, weil ansonsten sich die Waage nicht bewegt hätte ).
- Wir nehmen die gleichen Kugeln weg, die wir beim zweites wiegen auf die leere Schale gelegt haben.
- Wir nehmen 2 Kugeln weg aus der Schale, die sich in einer Richtung geneigt hat und legen sie gut sichtbar an einer freie Stellen auf den Tisch, Rest 2 Kugeln auf die eine Schale, die in eine Richtung sich geneigt hat.
- Wir nehmen eine Kugel davon und legen sie auf leere Schale.

3a. wiegen
- Nun muss sich die Schale wieder neigen.
- Neigt sie sich in der gleiche Richtung wie mit 4 Kugeln wissen wir welche Kugel auf welcher Schale die " faule Nuss " ist.
- Neigt sich die Waage in der entgegen gesetzte Richtung wissen wir, dass wir die " faule Nuss " in der leere Schale gelegt / versetzt haben.

----

2b. Bleibt beim 1. wiegen die Waage gleich, ohne Neigung ist es nun nicht mehr schwer die 4 Kugeln mit noch 2 mal wieder die ungleich schwere heraus zu finden.

[ingo2]

Ich bin für den zweiten Teil auf eine andere Lösung gekommen:

1. Wägung 4 gegen 4 Kugeln: es herrscht Ungleichgewicht.
Dann ist die falsche unter den 8 auf der Waage, die restlichen 4 sind echt.

2. Wägung:
ich entferne auf der "leichteren Seite" 3 Kugeln,
ich ersetze die durch 3 Kugeln von der "schwereren Seite"
und fülle die "schwerere Seite" mit 3 "echten Kugeln" (aus erster Wägung) auf.

Dann gibt es 3 Möglichkeiten:
2a) es ändert sich nichts. Dann habe ich die falsche Kugel nicht bewegt und es kommen nur die 2 übrig en infrage. Von denen weiß ich aber schon, daß entweder die auf der leichten Seite leichter ist, oder die andere schwerer. Ein Wägung einer gegen 1 echte entscheidet das.

2b) es herrscht Gleichgewicht:
Dann habe ich die falsche Kugel beiseite gelegt, es ist also eine der 3 von der vormals "leichten Seite" und ich weiß auch schon, daß sie leichter als alle anderen ist. Von den 3 Kugeln 1 gegen 1 wägen - fertig.

2c) Die Waage kehrt sich um
dann habe ich die falsche Kugel von einer Seite auf die andere gelegt, sie ist also im obigen Beispiel schwerer als alle anderen. Von den 3 Kugeln wieder 1 gegen 1 wägen - fertig

Das kommt ohne Nummerierung aus und ist für mich einfacher zu merken.
Baut auf der einfacheren Aufgabe auf, bei der aus 9 Kugeln eine bekanntermaßen schwerere durch 2 Wägungen zu ermitteln ist.

[Revod]

Total 10 Säcke mit Münzen darin. Je 9 Säcke sind mit 10 Gramm Münzen gefüllt ( Mit unterschiedliche Anzahl Münzen darin in alle 10 Säcke ). Einen Sack hat jedoch Falschmünzen, je 9 Gramm die Münze darin. Es steht eine Digitalwaage zur Verfügung, mit der nur einmal gewogen werden darf.

In welchem Sack befinden sich die falschen 9 Gramm Münzen?

Ist alles erlaubt, ausser mehr als einmal wiegen und es muss gewogen werden.

@ ingo2

" Viele Wege führen nach Rom "

[maroc]

@ingo2
Ja, Deine Lösung ist eindeutig die elegantere! Drei Wägungen sind zwar drei Wägungen, aber die Fallunterscheidungen sind bei Dir weniger komplex bzw. irgendwie symmetrischer. So kommst Du ohne Nummerierungen aus.

@Revod
Beim ersten Überfliegen dachte ich schon, Du hättest eine alternative Lösung gefunden. Aber ich glaube an einer Stelle unterliegst Du entweder einem Denkfehler oder, was auch gut möglich ist, ich habe Dich falsch verstanden:

2a. wiegen
- Neigt sich die Waage in der selbe Richtung ( Sie muss sich in der selbe Richtung neigen ) wissen wir nun wo sich die " faule " Kugel befindet

Wieso muss sich hier bei der zweiten Wägung die Waage in die selbe Richtung neigen wie bei der ersten Wägung? Es könnte doch auch Gleichgewicht herrschen – wenn nämlich die abweichende Kugel sich unter den vier Kugeln befindet, die nach der ersten Wägung von der Waage entfernt wurden.

[Revod]

... weil ansonsten alle 8 Kugeln bei der erste Wägung alle gleich schwer wären und somit die Waage keine Neigung zeigen würde, wenn sich eine Kugel unter den nicht gewogene Kugeln befinden würde.

Nehmen wir die 4 Kugeln weg worin sich die unterschiedliche Kugel befindet bleibt die Waage bei der zweite Wägung auch stehen, und daher habe ich es als " 1a und 2b " definiert, weil zwei Szenario sich bilden können und bei jedes darf insgesamt drei mal gewogen werden.

@ ingo2

Warum setzt Du auf " gelöst " wenn der Titel des Thread Denksportaufgabe lautet ( Ok, is als eine Aufgabe definiert, trotzdem ... ...)?

[ingo2]

@ ingo2

Warum setzt Du auf " gelöst " wenn der Titel des Thread Denksportaufgabe lautet ( Ok, is als eine Aufgabe definiert, trotzdem ... ...)?

Sorry, hatte deine Auigabe noch nicht gelesen, sondern gleichzeitig an meinem Kommentar geschrieben. Vielleicht trennt ein Mod ja deine Frage ab und macht daraus eine eigene Aufgabe?

@maroc
Ach, bei der Gelegenheit noch ein kleiner Nachtrag zu meiner Aufgabe:
Auch das Vorgehen bei Gleichgewicht in der ersten Wägung läßt sich mit dem Prinzip "der Reduktion auf 3 Kugeln von denen mam weiß ob sie schwerer oder leichter sind, lösen:
Man nimmt von den 4 verbleibenden 3 Kugeln und vergleicht sie mit 3 echten. Fortsetzung s.o.

Du hast die Lösung von der Mathematischen Seite her angepackt und auch gelöst. Es gibt also mindesten schon 2 Wege - vielleicht sogar noch mehr?
Ingo

[uname]

http://www.onlinemathe.de/forum/3-Waage ... mbinatorik

Mag das jemand erklären?

[ingo2]

[quote="Revod"]Total 10 Säcke mit Münzen darin. Je 9 Säcke sind mit 10 Gramm Münzen gefüllt ( Mit unterschiedliche Anzahl Münzen darin in alle 10 Säcke ). Einen Sack hat jedoch Falschmünzen, je 9 Gramm die Münze darin. Es steht eine Digitalwaage zur Verfügung, mit der nur einmal gewogen werden darf.

In welchem Sack befinden sich die falschen 9 Gramm Münzen?

Ist alles erlaubt, ausser mehr als einmal wiegen und es muss gewogen werden.

@ ingo2

" Viele Wege führen nach Rom " [/quote

Zu deiner Frage:

Ich würde aus Sack #1 1 Münze, aus Sack #2 2 Münzen .... und aus Sack #9 9Münzen nehmen und zusammen wägen.
Sack #10 bleibt zu.
Das sind zusammen 45 Münzen.
Die wiegen, wenn alles echte Münzen sind, 450g.
Zeigt die Waage 450g sind in Sack #10 die Falschmünzen.
Zeigt die Waage weniger als 450g, sagen wir x g, dann sind die Falschmünzen in Sack #(450-x).

Ingo

[maroc]

Ich bin zu viel faul, mir auszurechnen, daß ich nach Entnahme der 1 + 2 + 3 ... + 9 Münzen genau 45 Münzen auf der Waage habe. Deshalb modifiziere ich für mich die Methode von ingo2 wie folgt:

Ich lege aus dem ersten Sack 9 Münzen auf die Waage, aus dem zweiten Sack 8 Münzen, aus dem dritten 7 usw. ... bis ich schließlich aus dem neunten Sack 1 Münze auf die Waage gelegt habe. Nur den zehnten Sack lasse ich – wie ingo2 – zu.

Dann brauche ich auf der Anzeige der so beladenen Digitalwaage nur die letzte Ziffer der Gewichtsanzeige zu betrachten – sie gibt mir die Nummer des Sacks mit den Falschmünzen an (Ausnahme: ist die letzte Ziffer eine 0, so sind die Falschmünzen im Sack 10).

[ingo2]

Ich bin zu viel faul, mir auszurechnen, daß ich nach Entnahme der 1 + 2 + 3 ... + 9 Münzen genau 45 Münzen auf der Waage habe. Deshalb modifiziere ich für mich die Methode von ingo2 wie folgt:

Tha, das ist Mathematik!
Schon mein Mathe-Lehrer in der Schule hat die bisher für mich treffenste Definition dafür gegeben:

Mathematik ist die Kunst, wie man am wenigsten rechnet!

[ingo2]

So, nachdem ich jetzt den Titel nochmals abgeändert habe, biete ich noch eine Logik-Aufgabe:

Ein Mann sitzt in einer Gefängniszelle.
Die Zelle hat 2 Ausgänge, einer führt in die Freiheit, der andere in den Tod.
Vor jedem Ausgang steht ein Wächter.
Einer der Wächter sagt immer die Wahrheit, der andere lügt immer.
Der Gefangene hat eine einzige Frage an einen der Wächter frei, um herauszufinden, welcher Ausgang in die Freiheit führt.

Wie lautet seine Frage?

[Revod]

...
Ich würde aus Sack #1 1 Münze, aus Sack #2 2 Münzen .... und aus Sack #9 9Münzen nehmen und zusammen wägen.
Sack #10 bleibt zu.
Das sind zusammen 45 Münzen.
Die wiegen, wenn alles echte Münzen sind, 450g.
Zeigt die Waage 450g sind in Sack #10 die Falschmünzen.
Zeigt die Waage weniger als 450g, sagen wir x g, dann sind die Falschmünzen in Sack #(450-x).

Ingo

Jepp genau. Du kannst auch " 55 " Münzen wiegen = gleiche Formel.

Wusste früher viele von solche Aufgaben. Deine kannte ich auch und dadurch ich mir an meine eine erinnern konnte, sind steinalt ( Praktisch alle sind steinalt wie Streichholz, Zeichnungen, Münzspiele mit mathematische Ab- Aufwertungen usw. ).

@ maroc auch Recht, geht auch " aufsteigend " der Wert ist der Selbe...

...
Mathematik ist die Kunst, wie man am wenigsten rechnet!

... und wenn wir schon dabei sind ( wieder eine " alte Erinnerung, da war ich 11 und brauchte dafür ca. 5 - 6 Minuten, doch nur wegen der Nachvollziehbarkeit, für die Lösung Idee brauchte ich ca. 1 - 2 Sekunden " Mein Lehrer staunte 2 mal, über meine verwendete Zeit und über das richtige Resultat und damals waren Taschenrechner noch bei uns unbekannt ).

Einen 2.3 Meter Hohes Baum und sein Schatten misst um 09.00 Uhr morgens genau 5.2 Meter.
Wie genau lange misst sein Schatten um genau 10.48 Uhr?

Wer länger als 6 Minuten braucht hat verloren ( ing's2 Aussage seines Lehrers beachten ).

Edit:

@ ingo2

Danke wegen des Titels.

Und die Frage, soll ich die Antwort jetzt schon verraten...?!

[ingo2]

Einen 2.3 Meter Hohes Baum und sein Schatten misst um 09.00 Uhr morgens genau 5.2 Meter.
Wie genau lange misst sein Schatten um genau 10.48 Uhr?

Wer länger als 6 Minuten braucht hat verloren ( ing's2 Aussage seines Lehrers beachten ).

Das geht garnicht, ein 23m hoher Baum bei 5m Schatten - da müßte ja morgens um 09:00 die Sonne schon weit über 45° hoch stehen, das schafft sie noch nicht mal in den Tropen.
Oder hast du die Zeitzone bei der Anghebe vergessen?

[ingo2]

... und wenn wir schon dabei sind ( wieder eine " alte Erinnerung, da war ich 11 und brauchte dafür ca. 5 - 6 Minuten, doch nur wegen der Nachvollziehbarkeit, für die Lösung Idee brauchte ich ca. 1 - 2 Sekunden " Mein Lehrer staunte 2 mal, über meine verwendete Zeit und über das richtige Resultat und damals waren Taschenrechner noch bei uns unbekannt ).

Dann benutzt du sicher wie ich auch noch für Dreisatzaufgaben einen "Penis mathematicus", zu Deutsch Rechenschieber?

[Revod]

Es ist eine reine mathematische Annahme, doch Du hast trotzdem Recht... ist lange her und deswegen was vergessen.

Wenn mathematisch angenommen wird, dass die Sonne vom Aufgang bis Untergang einen 180° Halbkreis vollbringt.

Also hypothetische Aufgabe ( Damals gab es bei uns in der Schweiz nur die Winterzeit bin mir ganz sicher, ingo2, vielleicht daher die " Unmöglichkeit " , habe auch nicht daran gedacht. Wie es in Deutschland Ende 60er mit der Sommer- Winterzeit war weiss ich nicht ).

Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang ist der Weg 180 Winkelgrade
Einen 2.3 Meter Hohes Baum und sein Schatten misst um 09.00 Uhr morgens genau 5.2 Meter.
Wie genau lange misst sein Schatten um genau 10.48 Uhr?

[ingo2]

Es ist eine reine mathematische Annahme, doch Du hast trotzdem Recht... ist lange her und deswegen was vergessen.

Wenn mathematisch angenommen wird, dass die Sonne vom Aufgang bis Untergang einen 180° Halbkreis vollbringt.

Also hypothetische Aufgabe ( Damals gab es bei uns in der Schweiz nur die Winterzeit bin mir ganz sicher, ingo2, vielleicht daher die " Unmöglichkeit " , habe auch nicht daran gedacht. Wie es in Deutschland Ende 60er mit der Sommer- Winterzeit war weiss ich nicht ).

Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang ist der Weg 180 Winkelgrade
Einen 2.3 Meter Hohes Baum und sein Schatten misst um 09.00 Uhr morgens genau 5.2 Meter.
Wie genau lange misst sein Schatten um genau 10.48 Uhr?

Oh, mein Fehler - ich hatte das , übersehen, also der Baum ist 2,3 meter hoch.

Aber das geht dann in Richtung Astronavigation. Und da fehlen noch viele Angaben, wie
Breitengrad, genaue Ortszeit (dafür braucht man wieder die geographische Länge) und für die ganzen Korrekturen die Ephemeridentafeln.
Einen 180° Bogen beschreibt die Sonne nur, wenn sie durch den Zenith geht und das passiert nur in den Tropen zwischen den Wendekreisen und nur zu ganz genau definierten Zeiten. Solche Rechnungen/Navigation mit Sextent habe ich auch mal beherrscht, aber das ist (leider) duch GPS fast obsolet geworden, selbst heutige Piloten haben keinen Sextant mehr an Bord.

Also zu deiner hypothetischen Annahme mit einem 180° Bogen von morgens 06:00 bis abends 18:00:
Dann müßte sie ja um 09:00 einen Erhebungswinkel von 45° haben und Schatten und Baum gleich hoch/lang sein ...
ich muß passen - verstehe wohl die Frage nicht korrekt. Die Länge des Schatten hängt ja allein von der Elevation (Höhe) der Sonne ab Zumindest steht der Baum mal nicht in den Tropen

[Revod]

Es ist lösbar.

Denke an dem Satz Deines " Jugendlehrers " ... und viele Wege führen nach Rom.

Achte nicht zu sehr auf die 180 Winkelgrade, weil das bereits einen kleinen Teil der Lösung ist ( Wenn ich nun richtig nachdenke braucht es die Halbkreis Winkelangabe gar nicht, war schon richtig mit den zwei Angaben, das kann ermittelt werden ).

Aber nun helfe ich nicht weiter... bis es angefragt wird ( Habe schon zu viel verraten ).

PS: Wir hatten 30 Minuten Zeit um es rechnerisch zu lösen.

[maroc]

Ich möchte nochmals auf die Wägeaufgabe von ingo2 zurückkommen.

http://www.onlinemathe.de/forum/3-Waage ... mbinatorik

Mag das jemand erklären?

Die Lösung im vorletzten Beitrag des von uname verlinkten Threads hat mich jetzt echt umgehauen. Was sie radikal von unseren hier vorgestellten Lösungswegen unterscheidet, ist, dass sie ganz ohne Fallunterscheidungen auskommt, also ohne diese verzweigten Entscheidungsbäume!

Es werden grundsätzlich drei fest vorgegebene 4-zu-4-Wägungen vorgenommen, aus denen sich die Lösung an Hand eines tabellarischen Rechenschemas ermitteln lässt. Warum das so auf geradezu magisch anmutende Weise funktioniert, kann ich leider nicht erklären – aber es funktioniert (ich habe es für alle Möglichkeiten durchgetestet). Schlichtweg genial!