Geh' auf's Ganze: Entkomm dem Zonk!

[Joghurt]

Ihr kennt vielleicht noch die Spielshow "Geh' auf's Ganze"; dort gibt es manchmal einen Kandidaten, der die Wahl zwischen 3 Türen hat, hinter einer ist der Hauptgewinn, hinter den beiden anderen der "Zonk", eine Niete; nachdem der Kandidat sich für eine Tür entschieden hat, macht der Moderator eine der beiden anderen Türen auf; wobei er immer nur eine Tür mit Zonk öffnet.

Danach hat der Kandidate die Möglichkeit, nochmal zu wechseln. Jetzt die Frage, was ist die bessere Taktik, wenn es überhaupt eine gibt. Auflösung nächsten Samstag.

[Schändlich]

Oh weh,

das erinnert mich an SChule, da haben wir gelernt, dass es besser ist zu wechseln.


MfG


P.S. Ich halte übrigens nicht all zu viel von Wahrscheinlichkeits-Rechnung. weil die Wahrscheinlichkeit erst dann genau berechenbar ist, wenn die Versuche unendlich sind.
In einer Situation die nur einmal kommt, muss es nich unbedingt etwas bringen.


MfG

[fluid]

Das kenn ich doch irgendwo her...

Siehe http://janko.at/Denksport/FAQ.txt V.2 a)

[Joghurt]

Jupp. Da taucht es auch auf.

Vielleicht hätte ich dazuschreiben sollen, dass ihr die Lösung nicht mitteilen sollt.
Ich wusste gar nicht, dass das heutzutage schon in der Schule gelehrt wird. Soo alt ist das Problem nämlich gar nicht; und angeblich waren sogar die Mathematiker erstaunt, als jemand darauf hinwieß...

Also: Es ist besser, zu wechseln. Die Chance beträgt 2/3, und dass macht schon was aus, auch wenn man nur ein einziges Mal im Leben diese Chance hat. Ein Beweis geht z.B. so:

Angenommen, das Auto ist in Tor 1, dann gilt, abhängig von dem Tor, dass der Kandidat anfangs gewählt hat:
Tor 1: nicht wechseln ist besser
Tor 2: wechseln
Tor 3: wechseln.
Insgesamt ist also wechseln in 2 von 3 Fällen besser. q.e.d.

Der Grund dafür liegt übrigens darin, dass der Moderator dir mehr Informationen zukommen läßt; er kann ja schließlich nicht das Tor mit dem Gewinn öffnen. Deswegen sind in der Kryptographie in letzter Zeit auch "Zero-Knowledge"-Protokolle so beliebt, weil man bei diesen beweisen kann, dass keinen zusätzliche Information beim Authentifizieren gegeben wird.

Ach ja: Ihr seid alle Spielverderber

[fluid]

Vielleicht hätte ich dazuschreiben sollen, dass ihr die Lösung nicht mitteilen sollt.

Ups, sorry ich hätte zu Ende lesen sollen. Du hast ja auch geschrieben, dass du selbst auflösen willst.

[Joghurt]

P.S. Ich halte übrigens nicht all zu viel von Wahrscheinlichkeits-Rechnung. weil die Wahrscheinlichkeit erst dann genau berechenbar ist, wenn die Versuche unendlich sind.

Das stimmt so nicht ganz! Richtig wäre: "Die gemesse Wahrscheinlichkeit ist bei einer unendlichen Anzahl von Versuchen gleich der vorhergesagten.
Und für große N (# der Versuche) kommt die gemessene schon gut an das Ergebnis ran. Das Problem ist nur, festzustellen, wann N groß ist
Bei einem Münzwurf dürften 100 Würfe schon gute Ergebnisse bringen, bei einem Würfel müssen es schon 1000 oder mehr sein; die normalen Spielwürfel haben übrigens nicht für jede Zahl die Wahrscheinlichkeit 1/6, das macht sich aber nur bei einer riesigen Anzahl von Versuchen bemerkbar.

In einer Situation die nur einmal kommt, muss es nich unbedingt etwas bringen.

Das stimmt natürlich. Dennoch wäre ich geneigt, dagegen zuwetten, wenn du beim Roulette auf eine Zahl setzt.

[fluid]

die normalen Spielwürfel haben übrigens nicht für jede Zahl die Wahrscheinlichkeit 1/6, das macht sich aber nur bei einer riesigen Anzahl von Versuchen bemerkbar.

Hmmm, durch den Gewichtsverlust auf einer Seite durch mehr Löcher? Oder auch bei Würfeln, bei denen die Augen nur aufgemalt sind?

[Joghurt]

Hmmm, durch den Gewichtsverlust auf einer Seite durch mehr Löcher? Oder auch bei Würfeln, bei denen die Augen nur aufgemalt sind?

Der Schwerpunkt ist verschoben, aufgrund des ungleichmäßigen Gewichtverlustes. Bei den aufgemalten Augen dürfte der Schwerpunkt auch etwas verschoben sein; die Farbe wiegt ja auch etwas. Das dürfte sich aber wirklich erst bei ein paar Milliarden Würfen überhaupt bemerkbar machen.

Casinos füllen die Löcher mit einer Farbe, mit der selben Dichte wie das Würfelmaterial aus, um den Schwerpunkt exakt in der Mitte zu haben.

[fluid]

Jaja, das meinte ich damit schon ;)

[Sebastian.S]

Was mir zum Thema Wahrscheinlichkeit einfällt:

Ich habe mal folgendes gelsen:
Befinden sich in einem Raum 26 Personen, so ist die Wahrscheinlichkeit weit über 50%, dass zwei dieser Personen am gleichen Tag Geburtstag haben.

Als Laie hätte ich behauptet, dass es etwa 180 Personen sein müssen, um auf eine Wahrscheinlichkeit zu kommen (360 Tage pro Jahr geteilt durch 2 (Wahrscheinlichkeit 0.5)).

Weiß jemand mehr über dieses Problem?


Liebe Grüße,
Sebastian

[GoKi]

Ist bekannt unter dem Begriff Geburtstagsproblem.
Weitere Infos z.B. in wikipedia
http://de.wikipedia.org/wiki/Geburtstagsproblem
oder auch per Google

[Master Mayhem]

sorry aber die begründung hört sich an wie: "jetzt ist schon 3x hintereinander die 6 gewürfelt worden, jetzt ist die wahrscheinlichkeit, dass wieder ne 6 fällt sehr gering"

mal abgesehen von der anzahl und dem gewicht der moleküle auf den jeweiligen seiten des würfels (rofl) ist die wahrscheinlichkeit immer noch 1 zu 6 dass wieder ne 6 gewürfelt wird

der moderator verrät mit dem öffnen von einer tür mit nem zonck (oder ner ziege) dahinter gar nichts, außer dass hinter dieser tür nen zonck ist - denn selbst wenn der kandidat vorher auch ne tür mit zonck gewählt hat, ist ja immer noch eine tür mit zonck zum öffnen da, dem kanditaten wird kein hinweis gegeben, ob er eine tür mit zonck dahinter oder mit auto gewählt hat, alles was er erfährt ist die tatsache, dass die geöffnete tür falsch ist

d.h. er steht tatsächlich vor einer 50 - 50 chance, denn der erste schritt ist eigentlich nur show.....denn der kandidat kann aus der wahl des moderators welchen zonck er öffnet oder ob der moderator überhaupt eine wahl hat, weil der kanditat schon eine tür mit zonck gewählt hat, überhaupt nichts schließen, er weiß nicht ob er einen zonck oder ein auto hinter seiner tür hat, er hat nur eine wahlmöglichkeit weniger

also scheißegal, ob er im ersten schritt auto oder zonck gewählt hat - zum schluss steht er vor einer 50-50 chance

genauso seltsam ist übrigens die begründung von dem Hans Bruder Rätsel dadrunter auf dieser website:
http://janko.at/Denksport/FAQ.txt

wo bitte ist der unterschied zwischen MJ und JM?
einen jungen gibt es auf jeden fall und beim befruchten ist das ähnlich, wie beim würfeln (lol) das ergebnis ist unabhängig vom letzten wurf...wie war das noch neues spiel neues glück
genaugenommen ist es dann auch nicht 50-50 sondern mädchen werden mit einer leicht höheren wahrscheinlichkeit gezeugt/geboren, was mit den chromosomen zusammenhängt...
die wahrscheinlichkeit insgesamt zwei jungen zu bekommen, wenn man noch kein kind hat ist 1/3 da es die kombinationen MM, MJ (JM ist dasselbe!) und JJ gibt, wenn ein J schon erfüllt ist gibt es für den zweiten wert nur die möglichkeiten J oder M also 50-50...

...oder muss sich die wahrscheinlichkeitsrechnung nicht an die logik halten?

Das ganze hört sich eher an wie nen psychotest, bei dem untersucht wird, wie viele einer erklärung zustimmen, die sie nicht verstehen, die aber als richtig postuliert wird (obwohl sie vollkommener unsinn ist) und von der mehrheit als richtig erklärt wird....

mfg tyler

[Joghurt]

sorry aber die begründung hört sich an wie: "jetzt ist schon 3x hintereinander die 6 gewürfelt worden, jetzt ist die wahrscheinlichkeit, dass wieder ne 6 fällt sehr gering"

Welche Begründung?

mal abgesehen von der anzahl und dem gewicht der moleküle auf den jeweiligen seiten des würfels (rofl) ist die wahrscheinlichkeit immer noch 1 zu 6 dass wieder ne 6 gewürfelt wird

Das stimmt.

der moderator verrät mit dem öffnen von einer tür mit nem zonck (oder ner ziege) dahinter gar nichts, außer dass hinter dieser tür nen zonck ist

Er verrät eben doch etwas! Was genau, ist mir auch nicht ganz klar...

Es ist allerdings Tatsache, dass der Moderator eben nicht frei in seiner Wahl ist; hast du eine Tür mit einem Zonk gewählt, kann er sich nur eine Tür aussuchen, und gibt dir damit weitere Information. Das diese Information so weitreichende Konsequenzen hat, ist schwierig zu sehen.

denn selbst wenn der kandidat vorher auch ne tür mit zonck gewählt hat, ist ja immer noch eine tür mit zonck zum öffnen da, dem kanditaten wird kein hinweis gegeben, ob er eine tür mit zonck dahinter oder mit auto gewählt hat, alles was er erfährt ist die tatsache, dass die geöffnete tür falsch ist

siehe oben

wo bitte ist der unterschied zwischen MJ und JM?

Im ersten Fall ist der Junge der Erstgeborene, im zweiten Falle das Zweitgeborene.

...oder muss sich die wahrscheinlichkeitsrechnung nicht an die logik halten?

Doch, nur unser Verstand tut das nicht! Deswegen sind viele Wahrscheinlichkeitsprobleme für uns unverständlich... Z.B. wissen wir ja auch "intuitiv", dass nach 5 Sechsern hintereinander jetzt eine andere Zahl wahrscheinlicher ist.

Im Übrigen kannst du für beide Sachen (Ziegenproblem und Bruder) einfach mal ein Computerprogramm schreiben, du wirst überrascht feststellen, dass die angegebenen Ergebnisse stimmen.

Edit: hier mal ein Python-Programm für das Junge-Maedchen-Problem:

Code: Alles auswählen

from random import choice
Junge,Maedchen = 0,0

def Run():
    global Junge, Maedchen
    while 1:
        kinder = "".join([choice(("J","M")) for i in range(2)])
        if kinder != "MM": break
    if kinder == "JJ":
        Junge += 1
    else:
        Maedchen += 1


for a in range(1000):
    Run()
print "Junge:  ",Junge
print "Madchen:",Maedchen

[Sebastian.S]

@Master: Also das mit dem Zonk hat mir mal jemand laienhaft so erklärt:

Zu Beginn steht der Kandidat for einer 33,3% Chance. Er wählt Tor A*. Der Moderator öffnet Tor B*, darin ist natürlich der Zonk. Jetzt steht der Kandidat also vor der Wahl Tor A* oder Tor C*.
Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Tor A* beträgt nach wie vor 33,3%, da der Moderator ja keine "Öffnungsgewalt" über dieses Tor hatte.
Tor C* hat jetzt allerdings eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 50%, weil der Moderator ja den Zonk in Tor B* enttarnt hat. Damit wäre der Zonk zu je 50 % in Tor A* oder in Tor C*.
Da wir ja festgehalten hatten, dass der Moderator auf Tor A* keinen Einfluss hatte (da der Kandidat ja dieses Tor ausgewählt hatte), ist die Wahrscheinlichkeit von Tor A* unverändert, Tor B* nun aber 50%.
Letzten Endes ist also nur entscheidend, dass durch den Einflussbereich des Moderators die Wahrscheinlichkeiten von Tor B* und C* auf 50% erhöht wurden, die Wahrscheinlichkeit von Tor A* aber unverändert auf 33,3% bleibt, da ja hier kein Einfluss des Moderators vorhanden war. Ich hoffe, dass das so stimmt und dir weiterhilft

*) Bezeichnung mit Buchstaben, da die Reihenfolge irrelevant.


HTH,
Sebastian

[Joghurt]

Diesen Begründung finde ich schwerer zu verstehen, als meinen oben angegebenen.

Ich habe aber kürzlich auch noch einen netten "Beweis" gesehen, der zwar nicht mathematisch exakt ist, dafür aber einleuchtender ist:

Stell dir die Sitation mit 1000 Türen vor, hinter 999 ist der Zonk. Nachdem du gewählt hast, öffnet der Moderator 998 Türen. Ist es jetzt nicht wahrscheinlicher, dass du am Anfang daneben lagst und die übriggebliebene Tür richtig ist?

[BeS]

Stell dir die Sitation mit 1000 Türen vor, hinter 999 ist der Zonk. Nachdem du gewählt hast, öffnet der Moderator 998 Türen. Ist es jetzt nicht wahrscheinlicher, dass du am Anfang daneben lagst und die übriggebliebene Tür richtig ist?

Genau das ist der Punkt.
Um es wieder auf 3 Türen zu begrenzen:
Wenn du aus 3 Türen eine wählst hast du mit 2/3 Wahrscheinlichkeit einen Zonk und nur mit 1/3 Wahrscheinlichkeit das Auto.
Die Chance ist also größer das du eine der falschen Türen gewählt hast, damit das der Moderator jetzt die 2. falsche Tür aus dem Spiel nimmt weißt du quasi welche die richtige ist, es bleibt nämlich nur noch eine übrig.
Das verhindert natürlich nicht, dass du bei der ersten Wahl die 1/3 Chance ausgenutzt und schon die richtige Tür gewählt hast, dann geht diese Taktik natürlich nicht auf, aber die Wahrscheinlichkeit ist eben höher das du am Anfang einen Zonk gewählt hast und wenn der Moderator dann den zweiten Zonk aus dem Spiel nimmt weißt du wo das Auto mit einer relativ hohen Wahrscheinlichkeit ist.

[Master Mayhem]

also die übertreibung mit den 1000 türen macht das auf jeden fall klarer
die verbesserung von 2/3 hin zu 1/2 und die annahme dass die geringere wahrscheinlichkeit mehr fehler produziert

Hans Bruder ist mir auch klarer geworden...allerdings stimme ich der erklärung auf der o.g. website immer noch nicht zu, denn ob erst- oder zweitgeboren ist bei der fragestellung irrelevant, denn wenn erst ein mädchen geboren wiird ist die chance gleich null, dass Hans nen Bruder hat

da finde ich meine erklärung, dass die chance insgesamt zwei kinder mit demselben geschlecht zu bekommen 1/3 ist schon treffender - nur bin ich davon ausgegangen, dass der junge zuerst geboren wurde, weil die frage ansonsten keinen sinn für mich ergab - denn unabhängig vom zeitpunkt der geburt gibt es nur die drei kombinationen MM, MJ (oder JM), und JJ womit sich auch für den jungen ne 1/3 chance ergibt nen bruder zu haben, auch wenn die 1/3 chance MM schon nicht mehr möglich ist....

gott ist das beschissen kompliziert....also ich werde mich nie näher mit verschlüsselungsalogerythmen oder dem knacken derselben beschäftigen...

mfg tyler

[Joghurt]

denn unabhängig vom zeitpunkt der geburt gibt es nur die drei kombinationen MM, MJ (oder JM), und JJ

Das sind aber 4 Kombinationen, da MJ und JM zwei verschiedene Möglichkeiten sind, die Auftreten können!

beschissen kompliziert

Nicht unbedingt kompliziert, nur irrational, da wir gewohnt sind, in anderen Bahnen zu denken; nicht umsonst sind wir Menschen den Computern in Mustererkennung haushoch überlegen.

[Master Mayhem]

unabhängig vom zeitpunkt der geburt gibt es nur drei möglichkeiten ob JM oder MJ ist dann egal und nur als eine möglichkeit zu zählen, da das alter weder als information gegeben ist, noch eine wirkliche rolle dabei spielt
insgesamt ist die chance zwei kinder gleichen geschlechts 1/3 und genau diese chance besteht auch für Hans nen Bruder zu haben, denn ob der Bruder älter oder jünger ist, ist irrelevant für die lösung, also muss derjenige, der sich die lösung überlegt, die rolle von Hans verlassen und die situation von außen betrachten, so als hätte noch keine geburt stattgefunden

mfg tyler

[BeS]

Also ich muß sagen, ich bin mir bei dieser Bruder Geschichte auch nicht sicher.
Ich verwende mal eine etwas andere Bezeichnung um verwirrungen zu vermeiden. Es gibt:
Hans: H
Bruder: B
Schwester: S

Wenn wir jetzt die Reihenfolge auch beachten, was die Lösung anscheinend macht, dann gibt es diese Kombinationen:
HS, SH, HB, BH (SS können wir vernachlässigen weil es den Hans ja gibt)

also haben wir 4 Möglichkeiten und zwei mögliche Lösungen (BH oder HB).
Also ist die Wahrscheinlichkeit 2/4 = 1/2

Man kann ja nicht nur bei der Schwester unterscheiden ob sie vor oder nach Hans geboren wurde und beim Bruder nicht.

Die Frage ist natürlich ob ich die SS kombination wirklich von Anfang an unter den Tisch fallen lassen kann?
Vielleicht muß man auch den gesammten Wahrscheinlichkeitsraum nehmen, dann haben wir:
HB, BH, SH, HS, S1S2, S2S1
und eine Wahrscheinlichkeit von 2/6 = 1/3

so würde man wieder auf die Lösung von 1/3 kommen.

Egal ob der erste oder der zweite Ansatz stimmt, die Erklärung von der Lösung (http://janko.at/Denksport/FAQ.txt) kommt mir auf jedenfall nicht ganz konsequent vor.

@Master Mayhem:
Die Wahrscheinlichkeit zwei Kinder mit dem gleichen Geschlecht zu bekommen, wenn es noch keinen Hans gibt, sollte bei 1/4 liegen!
Das ist doch im Prinzip das gleiche wie bei einem klassischen Münzwurf:
Kopf zu werfen liegt bei 1/2, dieses zweimal hintereinander zu machen liegt bei 1/2 * 1/2 = 1/4

[Master Mayhem]

stimmt, die chance zwei kinder gleichen geschlechts zu bekommen ist sogar 1/2

nehmen wir das münzbeispiel, mögliche kombinationen sind:
Kopf/Zahl
Zahl/Kopf
Kopf/Kopf
Zahl/Zahl
macht in 50% der fälle zwei gleichgeschlechtliche Kinder...da hab ich mich vertan

da aber klar ist, dass eine der beiden möglichkeiten schon erfüllt ist (nehmen wir an Kopf ist Mädchen und Zahl Junge) kann Kopf/Kopf vernachlässisgt werden, denn diese möglichkeit kann keine lösung sein, weil die vorraussetzungen in der fragestellung anders ist....ein jungen gibt es egal, ob das der erste oder zweite münzwurf ist, also fließt nur der teil ein, der nötig ist für die berechnung:
Zahl/Kopf
Kopf/Zahl
Zahl/Zahl

Kopf/Kopf ist laut Fragestellung keine mögliche Lösung und kann daher vernachlässigt werden!
Womit ich bei genau der erklärung bin, die ich vorher kritisiert habe...
mfg tyler

[se8i]

Das im ersten Posting genannte Problem nennt sich Ziegenproblem und darüber gibt es ein Buch:
http://www.amazon.de/exec/obidos/ASIN/3 ... 35-2540021
Wer ein bißchen was über Wahrscheinlichkeit wissen will, dem kann ich das Buch nur empfehlen.

[paedubucher]

Das im ersten Posting genannte Problem nennt sich Ziegenproblem und darüber gibt es ein Buch:
http://www.amazon.de/exec/obidos/ASIN/3 ... 35-2540021
Wer ein bißchen was über Wahrscheinlichkeit wissen will, dem kann ich das Buch nur empfehlen.

Ich habe dieses Buch soeben angefangen zu lesen, so bin ich auf diesen Uralt-Thread gestossen. Ich wollte noch als Ergänzung anbringen, dass ich eine Simulation für das sogenannte "Monty Hall"-Problem geschrieben habe, denn so heisst die Gameshow in den Vereinigten Staaten. Dort gibt es drei Tore mit zwei Ziegen und einem Auto. Gemäss meiner Simulation erhält man bei einer Million Durchläufen, wobei der Spieler einmal seine Wahl beibehält und sie einmal wechselt, beim Wechseln eine Gewinnchance von 66% und beim Bleiben eine Gewinnchance von 33%. Man kann auch mit der Anzahl Toren rumspielen, wenn man will. Hier die Simulation (in C):

Code: Alles auswählen

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

#define GAMES 1000000
#define DOORS 3

#define GOAT 'Z'
#define CAR 'C'

int random_number(int, int);

int main(int argc, char *argv[])
{
    char games[GAMES][DOORS];
    int game, door, car;
    int pick, open, chance;
    int kept = 0, changed = 0;
    int win_keep = 0, win_change = 0;

    srand(time(NULL));

    for (game = 0; game < GAMES; game++) {
        for (door = 0; door < DOORS; door++) {
            games[game][door] = GOAT;
        }
        car = random_number(0, DOORS);
        games[game][car] = CAR;

        // player picks random door
        pick = random_number(0, DOORS);

        // show master opens a goat door the player didn't pick 
        for (open = 0; open < DOORS; open++) {
            if (open != pick && open != car) {
                break;
            }
        }

        // player either ...
        if (game % 2 == 0) {
            // keeps or ...
            kept++;
            if (games[game][pick] == CAR) {
                win_keep++;
            }
        } else {
            // changes the door randomly
            changed++;
            do {
                chance = random_number(0, DOORS);
            } while (chance == pick || chance == open);
            if (games[game][chance] == CAR) {
                win_change++;
            }
        }
    }

    printf("%d games with %d doors played.\n", GAMES, DOORS);
    printf("%d times kept and %d times won (%d%%).\n",
        kept, win_keep, (int)((float)win_keep / kept * 100));
    printf("%d times changed and %d times won (%d%%).\n",
        changed, win_change, (int)((float)win_change / changed * 100));

    return 0;
}

int random_number(int min_in, int max_ex)
{
    return rand() % (max_ex - min_in) + min_in;
}

Wenn man nicht rechnen kann, kann man immer noch programmieren